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Boucles auto-similaires

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Les motifs (mélodiques ou autres) auto-similaires, également qualifiés d’auto-réplicatifs (en anglais, self-replicating ou même selfRep loops) sont un procédé d’écriture selon lequel un motif se reproduit lui-même lorsqu’on le considère à une échelle différente.

Dans son emploi le plus typique, il s’agira d’une mélodie dans laquelle, lorsqu’on n’en joue qu’une note sur deux (ou trois, ou n), l’on retrouve la mélodie de départ.

Classification

Ce procédé d’écriture est intéressant en tant qu’objet mathématique et géométrique : en effet, il n’est applicable qu’à des motifs particuliers, répondant à certains critères (aisément décrits par les outils de théorie des groupes). De plus, le concept d’invariance à différentes échelles évoque le fonctionnement des fractales.

D’un point de vue musical, il peut s’appliquer à n’importe quelle variable (hauteurs, timbres, intensités) mais affectera de toute façon la structure du discours. Il concerne, évidemment, davantage l’écriture polyphonique que monodique (même s’il s’agit en fait ici d’une fausse polyphonie).

Utilisation

Terminologie

Une boucle auto-similaire est déterminée par deux variables : sa période et son ratio, ci-après désignées respectivement par les lettres n et a.

  • La période de la boucle est tout simplement sa longueur avant réitération : dans le cas d’une mélodie, n sera le nombre de notes (et de silences) qui la composent.
  • Le ratio est le facteur d’augmentation des durées qui est nécessaire pour retrouver la boucle de départ (qui se joue alors a fois plus lentement) ; il peut également se décrire comme un filtrage de la boucle de départ (dans le cas d’une mélodie, l’on ne jouerait que 1 note sur a).

À partir de ces deux paramètres, il est possible de définir une liste d’orbites, c’est-à-dire le schéma des occurrences de chaque élément constitutif de la boucle (numérotées à partir de 0). Dans le cas d’une mélodie, il y a autant d’orbites que de notes différentes la constituant (voir exemple ci-dessous).

Un exemple simple

Avant même d’avoir choisi ses notes, l’on peut ainsi décrire la boucle mélodique comme une suite d’orbites, par exemple :

    (0)
    (1 3)
    (2)

Il s’agit ici d’un exemple simple : la basse dite «d’Alberti», qui est en fait une boucle auto-similaire longue de 4 notes (ici numérotées de 0 à 3), et de ratio 3.

Alberti.png

Rythmes

Il est possible d’attribuer certaines orbites à des silences, ce qui permet de délimiter plus clairement les itérations de la boucle (par exemple en attribuant un silence à l’orbite (0), voir ci-dessous), ou de donner l’illusion de rythmes variés ; ce stratagème est par exemple employé dans La vie est si courte de Tom Johnson.

Observations

Parmi les différentes orbites observables, certaines notes ne reviennent qu’une fois par boucle : c’est toujours le cas de la première note (orbite (0)), et cela s’observe également dans beaucoup de cas pour la note du milieu (orbite (a/2). D’ailleurs, ces mélodies présentent souvent une symétrie interne et une structure palindromique.

Des ratios supérieurs à la période n de la boucle donnée sont également possibles, quoique moins intéressants. Par exemple n+1 est un ratio possible pour n’importe quelle mélodie (même si elle ne présente aucune particularité intrinsèque).

De même, certaines démultiplications du ratio minimal a sont également possibles : ainsi, n+a, 2n+a etc. permettent chacun de reproduire l’auto-similarité.

Ainsi dans l’exemple de la basse d’Alberti donné ci-dessus, l’auto-réplication fonctionne pour un ratio de 3, mais aussi de 5 et de 7 :

Alberti1.png

Historique

Les boucles auto-similaires (ou auto-réplicatives) sont depuis longtemps un objet d’étude privilégié de Tom Johnson. Comme il l’explique dans un article en anglais, cette idée est apparue pendant les années 1970 (on la trouve déjà dans certaines de ses Symmetries en 1979). Avec notamment l’aide du mathématicien David Feldman, elle conduit à l’écriture de l’une de ses Rational Melodies en 1981.

Dans les années 1990, Tom Johnson revient à ce champ d’étude et lui consacrera notamment un livre entier : Self-Similar Melodies, 1996. Il s’en servira dans de nombreuses compositions, notamment La Vie est si courte (1998, voir ci-dessous), Loops for orchestra (1999) et Kientzy Loops (2000).

Dans la décennie suivante, il est rejoint dans ce domaine d’étude par quelques mathématiciens français :

Exemples

Voir aussi